题目内容
(2013•烟台一模)已知函数f(x)=
,把函数g(x)=f(x)-x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为( )
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分析:根据函数的零点的定义,构造两函数图象的交点,交点的横坐标即为函数的零点,再通过数列及通项公式的概念得所求的解.
解答:解:当x∈(-∞,0]时,由g(x)=f(x)-x=2x-1-x=0,得2x=x+1.令y=2x,y=x+1.在同一个坐标系内作出两函数在区间(-∞,0]上的图象,由图象易知交点为(0,1),故得到函数的零点为x=0.
当x∈(0,1]时,x-1∈(-1,0],f(x)=f(x-1)+1=2x-1-1+1=2x-1,由g(x)=f(x)-x=2x-1-x=0,得2x-1=x.令y=2x-1,y=x.在同一个坐标系内作出两函数在区间(0,1]上的图象,由图象易知交点为(1,1),故得到函数的零点为x=1.
当x∈(1,2]时,x-1∈(0,1],f(x)=f(x-1)+1=2x-1-1+1=2x-2+1,由g(x)=f(x)-x=2x-2+1-x=0,得2x-2=x-1.令y=2x-2,y=x-1.在同一个坐标系内作出两函数在区间(1,2]上的图象,由图象易知交点为(2,1),故得到函数的零点为x=2.
依此类推,当x∈(2,3],x∈(3,4],…,x∈(n,n+1]时,构造的两函数图象的交点依次为(3,1),(4,1),…,(n+1,1),得对应的零点分别为x=3,x=4,…,x=n+1.
故所有的零点从小到大依次排列为0,1,2,…,n+1.其对应的数列的通项公式为an=n-1.
故选B.
当x∈(0,1]时,x-1∈(-1,0],f(x)=f(x-1)+1=2x-1-1+1=2x-1,由g(x)=f(x)-x=2x-1-x=0,得2x-1=x.令y=2x-1,y=x.在同一个坐标系内作出两函数在区间(0,1]上的图象,由图象易知交点为(1,1),故得到函数的零点为x=1.
当x∈(1,2]时,x-1∈(0,1],f(x)=f(x-1)+1=2x-1-1+1=2x-2+1,由g(x)=f(x)-x=2x-2+1-x=0,得2x-2=x-1.令y=2x-2,y=x-1.在同一个坐标系内作出两函数在区间(1,2]上的图象,由图象易知交点为(2,1),故得到函数的零点为x=2.
依此类推,当x∈(2,3],x∈(3,4],…,x∈(n,n+1]时,构造的两函数图象的交点依次为(3,1),(4,1),…,(n+1,1),得对应的零点分别为x=3,x=4,…,x=n+1.
故所有的零点从小到大依次排列为0,1,2,…,n+1.其对应的数列的通项公式为an=n-1.
故选B.
点评:本题主要考查了函数零点的概念及零点的求法、数列的概念及简单表示;培养学生观察、分析、归纳、推理的能力;解题中使用了数形结合及分类讨论的数学方法和数学思想.
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