Question

8．如图：已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一个平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP=DQ，求证：PQ∥面CBE．

Answer 1

分析 过点M作MP⊥AB，交AB与点M，连接MQ，证明平面PMQ∥平面BCE，再证明PQ∥平面BCE即可．

解答 解：过点P作PM⊥AB，交AB与点M，连接MQ，如图所示，
∴MP∥EB，
∴$\frac{AP}{PE}$=$\frac{AM}{MB}$；
又∵AE=BD，AP=DQ，
∴PE=BQ，
∴$\frac{AM}{MB}$=$\frac{DQ}{BQ}$，
∴MQ∥BC；
又∵BC?平面BCE，MQ?平面BCE，
∴MQ∥平面BCE，
同理，PM∥平面BCE；
又PM∩MQ=M，PM?平面PMQ，MQ?平面PMQ，
∴平面PMQ∥平面BCE；
∵PQ?平面PMQ，
∴PQ∥平面BCE．

点评 本题考查了直线与平面平行的判定问题，解题时应先证明面面平行，再证明线面平行，是中档题．