题目内容
【题目】已知定点、,直线、相交于点,且它们的斜率之积为,记动点的轨迹为曲线.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)过点的直线与曲线交于、两点,是否存在定点,使得直线与斜率之积为定值,若存在求出坐标;若不存在请说明理由.
【答案】(1) 曲线的方程为 ;(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)设动点,利用斜率公式,由,化简即可得到曲线的方程;
(2)由已知直线过点,设的方程为,联立方程组,得,
得到的表达式,即可确定定值,得到定点的坐标.
试题解析:
(1)设动点,则, ,
, 即.
化简得: ,
由已知,故曲线的方程为 .
(2)由已知直线过点,
设的方程为,则联立方程组,
消去得,
设, ,则,
直线与斜率分别为, ,
.
当时, ;当时, .
所以存在定点,使得直线与斜率之积为定值.