题目内容

(本小题12分)

如图,曲线是以原点为中心,以为焦点的椭圆的一部分,曲线 是以为顶点,以为焦点的抛物线的一部分,是曲线的交点,且为钝角,若

(I)求曲线所在的椭圆和抛物线的方程;

(II)过作一条与轴不垂直的直线,分别与曲线依次交于四点(如图),若的中点,的中点,问是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由.

(1)椭圆的方程为,抛物线的方程为(2)是定值3


解析:

(I)设椭圆方程为,抛物线方程为,过作垂直于轴的直线,即抛物线准线,作垂直于该准线,作轴于点,则由抛物线的定义得

所以

所以

,得

所以椭圆的方程为,抛物线的方程为.    5分

(II)设

由已知得直线的斜率一定存在,故可设直线的方程为

,得

                      7分

同理,由,得

                                 9分

所以

,为定值.           12分

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