题目内容
(本小题12分)
如图,曲线是以原点为中心,以、为焦点的椭圆的一部分,曲线 是以为顶点,以为焦点的抛物线的一部分,是曲线和的交点,且为钝角,若,.
(I)求曲线和所在的椭圆和抛物线的方程;
(II)过作一条与轴不垂直的直线,分别与曲线、依次交于、、、四点(如图),若为的中点,为的中点,问是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由.
(1)椭圆的方程为,抛物线的方程为(2)是定值3
解析:
(I)设椭圆方程为,抛物线方程为,过作垂直于轴的直线,即抛物线准线,作垂直于该准线,作轴于点,则由抛物线的定义得
所以
所以,,
由,得,
所以椭圆的方程为,抛物线的方程为. 5分
(II)设,,,
由已知得直线的斜率一定存在,故可设直线的方程为
由,得
得, 7分
同理,由,得
得, 9分
所以
,为定值. 12分
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