题目内容
【题目】用一根长为分米的铁丝制作一个长方体框架(由12条棱组成),使得长方体框架的底面长是宽的
倍.在制作时铁丝恰好全部用完且损耗忽略不计.现设该框架的底面宽是
分米,用
表示该长方体框架所占的空间体积(即长方体的体积).
(1)试求函数的解析式及其定义域;
(2)当该框架的底面宽取何值时,长方体框架所占的空间体积最大,并求出最大值.
【答案】(1)答案见解析;(2)当该框架的底面宽为8分米时,长方体框架所占的空间体积最大,最大值为1536立方分米.
【解析】
(1)由题意,当长方体框架的底面宽是分米时,其长是
分米,高是
分米,
所以.
由,解得
,即函数
的定义域为
.
(2)法1:因为,
所以
,
当且仅当,即
时,
有最大值,
最大值为.
即当该框架的底面宽为8分米时,长方体框架所占的空间体积最大,最大值为1536立方分米.
法2:因为
所以
易得当时,
;当
时,
.
从而在区间
上单调递增,在区间
上单调递减,
故当时,
有最大值,最大值为
.
即当该框架的底面宽为8分米时,长方体框架所占的空间体积最大,最大值为1536立方分米.
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