Question

如图，已知在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB=AC，F为侧棱BB₁上一点，BF=BC=2a，FB₁=a.(1)若D为BC的中点，E为AD上不同于A、D的任一点，求证：EF⊥FC₁；(2)若A₁B₁=3a，求FC₁与平面AA₁B₁B所成角的大小.

Answer 1

思路解析：E点在AD上变化，EF为平面ADF内变化的一组相交直线(都过定点F)，要证明C₁F与EF垂直，必有C₁F⊥平面ADF.求FC₁与平面ABB₁A₁所成角的关键是找C₁到面ABB₁A₁的垂线，从而落实线面成角，在直三棱柱中，侧棱AA₁⊥平面A₁B₁C₁给找点C₁到面AB₁的垂线创造了方便的条件.

(1)证明：∵AB=AC,且D是BC的中点，∴AD⊥BC.

又∵在直三棱柱中，BB₁⊥平面ABC，∴AD⊥BB₁.

∴AD⊥平面BB₁C₁C.∴AD⊥C₁F.

在矩形BB₁C₁C中，BF=BC=2a，B₁F=a，

∴DF=a，FC₁=a，DC₁=a.

∴DF²+FC₁²=DC₁².∴∠DFC₁=90°，即FC₁⊥DF.

∴FC₁⊥平面ADF.∴FC₁⊥EF.

(2)解：过点C₁作C₁H⊥A₁B₁于点H，

∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，∴AA₁⊥C₁H.

∴C₁H⊥平面AA₁B₁B.连结FH，∠C₁FH是C₁F与平面AB₁所成的角.

在等腰△ABC中，AB=AC=3a，BC=2a，∴AD=2a.

在等腰△A₁B₁C₁中，由面积相等，可得C₁H×3a=2a×2a，∴C₁H=a.又C₁F=a,

在Rt△C₁HF中，sin∠C₁FH=，∴∠C₁FH=arcsin,

即C₁F与平面AB₁所成的角为arcsin.