题目内容
如图，已知点A（0，2）和抛物线y2=x+4上两点B、C，使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围．分析：设B（y12-4，y1）、C（y2-4，y），表示出直线AB的斜率，根据AB⊥BC可知直线BC的斜率，进而把直线AB方程与抛物线方程联立消去x，根据判别式大于等于0求得y的范围．
解答：解：设B（y12-4，y1）、C（y2-4，y），显然y12-4≠0，故kAB=
=
由于AB⊥BC，∴kBC=-（y1+2），从而
消去x，注意到y≠y1，得（2+y1）（y+y1）+1=0⇒y12+（2+y）y1+（2y+1）=0，∵
由△≥0，解得y≤0或y≥4，
当y=0时，点B的坐标为（-3，-1），当y=4时，点B的坐标为（5，-3），均满足题意，
故点C的纵坐标的取值范围是y≤0或y≥4．
| y1-2 |
| y12-4 |
| 1 |
| y1+2 |
由于AB⊥BC，∴kBC=-（y1+2），从而
|
消去x，注意到y≠y1，得（2+y1）（y+y1）+1=0⇒y12+（2+y）y1+（2y+1）=0，∵
由△≥0，解得y≤0或y≥4，
当y=0时，点B的坐标为（-3，-1），当y=4时，点B的坐标为（5，-3），均满足题意，
故点C的纵坐标的取值范围是y≤0或y≥4．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．常需借助韦达定理和判别式来解决问题．
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如图，已知点A（0，-3），动点P满足|PA|=2|PO|，其中O为坐标原点．
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