题目内容
【题目】设函数f(x)=ax﹣(k﹣1)a﹣x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数.
(1)求k值;
(2)若f(1)= ,且g(x)=a2x+a﹣2x﹣2mf(x)在[1,+∞)上的最小值为﹣2,求m的值.
【答案】
(1)解:∵f(x)是定义域为R的奇函数,
∴f(0)=0,
∴1﹣(k﹣1)=0,∴k=2,
经检验知:k=2满足题意
(2)解:∵f(1)= ,a﹣
=
,即2a2﹣3a﹣2=0,
解得a=2或﹣ ,其中a=﹣
舍去.
∴g(x)=22x+2﹣2x﹣2m(2x﹣2﹣x)=(2x﹣2﹣x)2﹣2m(2x﹣2﹣x)+2.
令t=f(x)=2x﹣2﹣x,
由(1)可知f(x)=2x﹣2﹣x为增函数,
∵x≥1,∴t≥f(1)= ,
令h(t)=t2﹣2mt+2=(t﹣m)2+2﹣m2 (t≥ ),
若m≥ ,当t=m时,h(t)min=2﹣m2=﹣2,∴m=2. …(10分)
若m< ,当t=
时,h(t)min=
﹣﹣3m=﹣2,解得m=
>
,舍去.
综上可知:m=2
【解析】(1)利用奇函数的性质f(0)=0即可得出;(2)利用f(1)= ,可得a.可得g(x)=(2x﹣2﹣x)2﹣2m(2x﹣2﹣x)+2.再利用指数函数与二次函数的单调性即可得出.
【考点精析】认真审题,首先需要了解函数的最值及其几何意义(利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;利用图象求函数的最大(小)值;利用函数单调性的判断函数的最大(小)值),还要掌握函数奇偶性的性质(在公共定义域内,偶函数的加减乘除仍为偶函数;奇函数的加减仍为奇函数;奇数个奇函数的乘除认为奇函数;偶数个奇函数的乘除为偶函数;一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性:一个为偶就为偶,两个为奇才为奇)的相关知识才是答题的关键.
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