Question

已知函数f（x）=-x³+ax²-4（a∈R）．若函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为

π

4

．
（Ⅰ）设f（x）的导函数是f'（x），若s，t∈[-1，1]，求f'（s）+f（t）的最小值；
（Ⅱ）对实数k的值，讨论函数F（x）=f（x）-k零点的个数．

Answer 1

分析：（I）求出f（x）的导函数在x=1处的值，利用函数在切点处的导数值为切线的斜率，列出方程求出a的值，将a的值代入f（x）的解析式，求出其导函数．
（II）列出x、f′（x）/f（x）的变化情况表，求出f（x）的极大值、极小值，求出k的范围．

解答：解：（I）f'（1）=1⇒a=2⇒f（x）=-x³+2x²-4⇒f'（x）=-3x²+4x（3分）
因s，t互相独立，故只要分别求f'（s），f（t），s，t∈[-1，1]的最小值即可
当s=-1，t=0时，f'（s）+f（t）的最小值为-11
（II）等价于讨论f（x）=k的实根的个数

x	（-∞，0）	0	(0， 4 3 )	4 3	( 4 3 ，+∞)
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	-4	↗	- 76 27	↘

∴k＞-

76

27

或k＜-4，一解；k=-

76

27

或k=-4，二解；-4＜k＜-

76

27

，三解．

点评：本题1考查函数在切点处的导数值为切线的斜率；解决已知方程的解的个数求参数的范围问题常转化为求函数的极值问题．