题目内容
已知函数f（x）=2acos2x+bsinxcosx，且f（0）=2，f（
）=
+
．
（Ⅰ）求a，b的值及f（x）的最小值；
（Ⅱ）若α-β≠kπ，k∈Z且α，β是方程f（x）=0的两个根，求证：sin（α+β）=cos（α+β）．
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
（Ⅰ）求a，b的值及f（x）的最小值；
（Ⅱ）若α-β≠kπ，k∈Z且α，β是方程f（x）=0的两个根，求证：sin（α+β）=cos（α+β）．
分析：（I）根据二倍角公式化简函数f（x）=acos2x+
sin2x+a，然后将x=0，x=
代入求出a，b的值，进而由余弦函数的特点求出最小值．
（II）根据方程的根可得出sin（2α+
）=sin（2β+
），然后由三角函数的特点可知2α+
=2kπ+π-（2β+
）进而得出α+β=kπ+
，即可知tan（α+β）=1，从而证明结论．
| b |
| 2 |
| π |
| 3 |
（II）根据方程的根可得出sin（2α+
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
解答：解：（Ⅰ）f（x）=acos2x+
sin2x+a
由f（0）=2 f（
）=
+
得
解得a=1 b=2
所以f（x）=cos2x+sin2x+1=
sin（2x+
）+1
所以f（x）min=1-
，此时x=kπ+
，k∈Z
（Ⅱ）α，β是方程
cos（2x-
）+1=0的两个根
∴
sin（2α+
）+1=
sin（2β+
）+1即sin（2α+
）=sin（2β+
）
∴2α+
=2kπ+2β+
①或2α+
=2kπ+π-（2β+
）②
α-β≠kπ，
∴①舍去，由②得
α+β=kπ+
∴tan（α+β）=tan（kπ+
）=1
∴
=1
即sin（α+β）=cos（α+β）．
| b |
| 2 |
由f（0）=2 f（
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
得
|
解得a=1 b=2
所以f（x）=cos2x+sin2x+1=
| 2 |
| π |
| 4 |
所以f（x）min=1-
| 2 |
| 5π |
| 8 |
（Ⅱ）α，β是方程
| 2 |
| π |
| 4 |
∴
| 2 |
| π |
| 4 |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
∴2α+
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
α-β≠kπ，
∴①舍去，由②得
α+β=kπ+
| π |
| 4 |
∴tan（α+β）=tan（kπ+
| π |
| 4 |
∴
| sin(α+β) |
| cos(α+β) |
即sin（α+β）=cos（α+β）．
点评：此题考查了二倍角公式和两角和与差公式，熟练掌握公式是解题的关键，属于中档题．
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