题目内容
【题目】已知椭圆C：
（
）的左右焦点分别为
，
，点
为短轴的一个端点，
.
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，过右焦点，且斜率为k（
）的直线l与椭圆C相交于D，E两点，A为椭圆的右顶点，直线
，
分别交直线
于点M，N，线段
的中点为P，记直线
的斜率为
.试问
是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.
【答案】（1）
；（2）是，定值
【解析】
（1）由条件求得
，可求得椭圆方程；
（2）设过点
的直线l方程为：
.与椭圆的方程联立求解得
，设点
，
，根据根与系数的关系得
，
.再得出直线
的方程和直线
的方程，求得点M和点N的坐标，从而求得点P的坐标，得出直线
的斜率，可求得
，得解.
（1）由条件可知
，
，故所求椭圆方程为；
（2）设过点的直线l方程为：.
由
可得：，
因为点在椭圆内，所以直线l和椭圆都相交，即
恒成立.设点，，
则，.因为直线的方程为：
，直线的方程为：
，
令
，可得
，
，所以点P的坐标
.
直线的斜率为
，
所以为定值.
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