Question

已知f(x)=x3-3x+m在区间[0,2]上任取三个不同的数a,b,c,均存在以f(a),f(b),f(c)为边长的三角形,则m的取值范围是　　　　　.

 

Answer 1

m>6

【解析】f(x)=x3-3x+m,f'(x) =3x2-3,由f'(x)=0得到x=1或x=-1,在[0,2]上,函数先减小后增加,计算两端及最小值f(0)=m,f(2)=2+m,f(1)=-2+m.在[0,2]上任取三个不同的数a,b,c,均存在以f(a),f(b),f(c)为边的三角形,三个不同的数a,b,c对应的f(a),f(b),f(c)可以有两个相同.由三角形两边之和大于第三边,可知最小边长的二倍必须大于最大边长.

由题意知,f(1)=-2+m>0　　　　　　①

f(1)+f(1)>f(0),得到-4+2m>m ②

f(1)+f(1)>f(2),得到-4+2m>2+m ③

由①②③得到m>6,即为所求.