Question

如图，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的点，OC垂直于直径AB，
过F点作⊙O的切线交AB的延长线于D、连接CF交AB于E点，
（1）求证：DE²=DB•DA；
（2）若⊙O的半径为2

3

，OB=

3

OE，求EF的长．

Answer 1

分析：（1）连接OF，利用切线的性质及角之间的互余关系得到DF=DE，再结合切割线定理即可证明DE²=DB•DA；
（2）由圆中相交弦定理得CE•EF=AE•EB，结合直角三角形中边的关系，先求出AE和EB，从而求出EF的长．

解答：解：（1）连接OF，
∵DF切⊙O于F，
∴∠OFD=90°，
∴∠OFC+∠CFD=90°，
∵OC=OF，
∴∠OCF=∠OFC，
∵CO⊥AB于O，
∴∠OCF+∠CEO=90°，
∴∠CFD=∠CEO=∠DEF，
∴DF=DE，
∵DF是⊙O的切线，
∴DF²=DB•DA，
∴DE²=DB•DA；
（2）OE=

1

3

OB=2，CO=2

3

，CE=

CO2+OE2

=4，
∵CE•EF=AE•EB=（2

3

+2）（2

3

-2）=8，
∴EF=2

点评：本题主要考查了与圆有关的比例线段、圆的切线的性质定理的应用，属于基础题之列．