Question

11．已知M（-1，2）为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1内一点，直线l过点M，交椭圆于A，B两点，且M为弦AB的中点，求l的方程．

Answer 1

分析 设以点M（-1，2）为中点的弦与椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用点差法能求出结果．

解答 解：设以点M（-1，2）为中点的弦与椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-2，y₁+y₂=4，
分别把M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，
可得$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{16}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{16}=1$．
再相减可得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+$\frac{1}{4}$（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴-2（x₁-x₂）+（y₁-y₂）=0，
∴k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=2，
∴点M（-1，2）为中点的弦所在直线方程l的方程为：y-2=2（x+1），
整理，得：2x-y+4=0．
所求直线方程为：2x-y+4=0．

点评 本题考查直线方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．