Question

（2012•黄冈模拟）已知坐标平面内定点和动点A（-1，0），B（1，0），M（4，0），N（0，4）和动点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），若

AP

•

BP

=3，

OQ

=(

1

2

-t)

OM

+(

1

2

+t)

ON

，其中O为坐标原点，则|

PQ

|的最小值是

2

2

-2

．

Answer 1

分析：利用向量知识，确定P、Q的轨迹方程，进而利用点到直线的距离公式，即可求|

PQ

|的最小值．

解答：解：∵动点A（-1，0），B（1，0），P（x₁，y₁），
∴

AP

•

BP

=3
∴（x₁+1，y₁）•（x₁-1，y₁）=3
∴x12+y12=4
∴P的轨迹是个半径为2、圆心在原点的圆
∵

OQ

=(

1

2

-t)

OM

+(

1

2

+t)

ON

∴Q，M，N三点共线
∵M（4，0），N（0，4）
∴Q的轨迹方程为直线MN：x+y-4=0
∴|

PQ

|的最小值是圆心到直线的距离减去半径，即

4

2

-2=2

2

-2
故答案为：2

2

-2

点评：本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，确定P、Q的轨迹方程是关键．