题目内容
（2012•黄冈模拟）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cosB=
，b=2．
（Ⅰ）当A=30°时，求a的值；
（Ⅱ）当△ABC的面积为3时，求a+c的值．
| 4 | 5 |
（Ⅰ）当A=30°时，求a的值；
（Ⅱ）当△ABC的面积为3时，求a+c的值．
分析：（Ⅰ）因为cosB=
，可得sinB=
，由正弦定理求出a的值．
（Ⅱ）因为△ABC的面积S=
acsinB=3，sinB=
，可以求得ac=10，再由余弦定理可得a2+c2=20=（a+c）2-2ac，由此求出a+c的值．
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
（Ⅱ）因为△ABC的面积S=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
解答：解：（Ⅰ）因为cosB=
，所以sinB=
．…（2分）
由正弦定理
=
，可得
=
．…（4分）
所以a=
．…（6分）
（Ⅱ）因为△ABC的面积S=
acsinB=3，且sinB=
，
所以
ac=3，ac=10．…（8分）
由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，…（9分）
得4=a2+c2-
ac=a2+c2-16，即a2+c2=20．…（10分）
所以（a+c）2 -2ac=（a+c）2 -20=20，
故（a+c）2=40，…（12分）
所以，a+c=2
．…（13分）
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
由正弦定理
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
| a |
| sin30° |
| 10 |
| 3 |
所以a=
| 5 |
| 3 |
（Ⅱ）因为△ABC的面积S=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
所以
| 3 |
| 10 |
由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，…（9分）
得4=a2+c2-
| 8 |
| 5 |
所以（a+c）2 -2ac=（a+c）2 -20=20，
故（a+c）2=40，…（12分）
所以，a+c=2
| 10 |
点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，属于中档题．
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