Question

（2012•黄冈模拟）在三棱锥O-ABC中，三条棱OA、OB、OC两两相互垂直，且OA＞OB＞OC，分别过OA、OB、OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S₁，S₂，S₃，则S₁，S₂，S₃中的最小值是

S₃

．

Answer 1

分析：取BC中点D，连接OD，AD，则平面OAD平分三棱锥的体积，即三角形OAD面积为S₁，由此推导出S₁²=

1

16

（OA²OB²+OA²OC²）．同理可得S₂²=

1

16

（OA²OB²+OB²OC²），S₃²=

1

16

（OA²OC²+OB²OC²），由此能求出S₁，S₂，S₃中的最小值．

解答：解：取BC中点D，连接OD，AD，则平面OAD平分三棱锥的体积，
即三角形OAD面积为S₁，
在Rt△BOC中，OD是斜边BC上的中线，∴OD=

1

2

BC，
∵OA⊥OB，OA⊥OC，∴OA⊥平面BOC，
∵OD?平面BOC，
∴OA⊥OD，
∴S₁=OA×

1

2

OD，
即S₁²=

1

4

OA²OD²=

1

16

OA²BC²=

1

16

OA²（OB²+OC²）=

1

16

（OA²OB²+OA²OC²）．
同理可得S₂²=

1

16

（OA²OB²+OB²OC²），
S₃²=

1

16

（OA²OC²+OB²OC²），
因为OA＞OB＞OC
所以S₁²＞S₂²＞S₃²
所以S₁，S₂，S₃中的最小值是S₃．
故答案为：S₃．

点评：本题考查棱锥中截面面积的计算，解题时要认真审题，仔细解答，注意勾股定理的灵活运用．