Question

已知函数f（x）=aln（1+e^x）-（a+1）x，g（x）=x²-（a-1）x-f（lnx），且g（x）在x=1处取得极值．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）证明：对（-∞，+∞）上任意两个互异的实数x，y，都有f(

x+y

2

)＜

f(x)+f(y)

2

；
（Ⅲ）已知△ABC的三个顶点A，B，C都在函数y=f（x）的图象上，且横坐标依次成等差数列，求证△ABC是钝角三角形．并问它可能是等腰三角形吗？说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ） g′(x)=2x-(a-1)-

a

1+x

+

a+1

x

，由g'（1）=0，能求出a．
（Ⅱ） f(

x+y

2

)-

f(x)+f(y)

2

=4[ln(1+e

x+y

2

)2-ln(1+ex)(1+ey)]，由于lnx是增函数，因此只要证ex+ey＞2e

x+y

2

即可．
（Ⅲ）设A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃）），x₁＜x₂＜x₃，则x₂-x₁=x₃-x₂=d＞0，而f′(x)=

8ex

1+ex

-9=-

9+ex

1+ex

＜0，所以f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃）．由此能够推导出△ABC不可能是等腰三角形．

解答：解：（Ⅰ） g（x）=x²-（a-1）x-aln（1+x）+（a+1）lnx，
g′(x)=2x-(a-1)-

a

1+x

+

a+1

x

，
由g'（1）=0，得2-a+1-

a

2

+a+1=0，
解得a=8．
（Ⅱ）∵f(

x+y

2

)-

f(x)+f(y)

2

=4[ln(1+e

x+y

2

)2-ln(1+ex)(1+ey)]
且lnx是增函数，
因此只要证(1+e

x+y

2

)2＜(1+ex)(1+ey)，
即证ex+ey＞2e

x+y

2

．
实际上，当x≠y时，有ex+ey＞2

ex+y

=2e

x+y

2

．
∴对（-∞，+∞）上任意两个互异的实数x，y，都有f(

x+y

2

)＜

f(x)+f(y)

2

．
（Ⅲ）设A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃）），x₁＜x₂＜x₃，
则x₂-x₁=x₃-x₂=d＞0，
而f′(x)=

8ex

1+ex

-9=-

9+ex

1+ex

＜0，
所以f（x）在（-∞，+∞）上递减，
故f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃）．
此时，

BA

•

BC

=(x1-x2，f(x1)-f(x2))•(x3-x2，f(x3)-f(x2))
=（x₁-x₂）（x₃-x₂）+（f（x₁）-f（x₂））（f（x₃）-f（x₂））＜0，
∴∠ABC＞90⁰．
若

|BA|

=|

BC

|，则f（x₁）-f（x₂）=f（x₂）-f（x₃），
得f(

x1+x3

2

)=f(x2)=

f(x1)+f(x2)

2

，这与（Ⅱ）的结论矛盾．
因为∠ABC是钝角，
所以△ABC不可能是等腰三角形．

点评：本题考查实数值的求法，不等式的证明，等腰三角形的判断．综合性强，难度大，具有一定的探索性，对数学思维的要求较高．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．