Question

设函数f（x），g（x）满足关系g（x）=f（x）•f（x+α）其中α是常数．
（1）设f（x）=cosx+sinx，α=

π

2

，求g（x）的解析式；
（2）设计一个函数f（x）及一个α（0＜α＜π）的值使得g（x）=

1

2

sin2x；
（3）设常数α=0，f（x）=

kx

（0＜k＜1），并已知0＜x₁＜x₂＜

π

2

时，总有

sinx1

x1

＞

sinx2

x2

成立，当x∈( 0，

π

2

)时，试比较sin[g（x）]与g（sinx）的大小．

Answer 1

分析：（1）由f（x）的解析式求出f（x+α）的解析式，相乘后得到函数g（x）的解析式；
（2）由逆向思维可知f（x）•f（x+α）=sinxcosx，由此可得函数f（x）及一个α；
（3）由给出的f（x）求出g（x），从而求出sin[g（x）]与g（sinx），借助于

sinx1

x1

＞

sinx2

x2

可得答案．

解答：解：（1）∵f（x）=cosx+sinx，α=

π

2

∴f（x+α）=cosx-sinx；
∴g（x）=f（x）•f（x+α）（cosx+sinx）（cosx-sinx）
=cos²x-sin²x=cos2x；
（2）∵g（x）=

1

2

sin2x=sinxcosx，
若f（x）=sinx，则f（x+α）=sin（x+α）=cosx⇒α=

π

2

∴f（x）=sinx，常数α=

π

2

；
（3）由题意g（x）=kx，sin[g（x）]=sinkx，g（sinx）=ksinx
又0＜k＜1，所以0＜kx＜x＜

π

2

，
则

sinkx

kx

＞

sinx

x

，所以sinkx＞ksinx，
即sin[g（x）]＞g（sinx）．

点评：本题考查了与三角函数有关的复合函数的单调性，考查了倍角公式，训练了三角函数的诱导公式，是中档题．