题目内容
设函数f(x),g(x)的定义域都是I,则g(x)>f(x)恒成立的充分必要条件是( )
分析:对于A,有一个x∈I,使g(x)>f(x),则g(x)>f(x)不恒成立;
对于B,有无穷多个x∈I,使g(x)>f(x),也不能保证g(x)>f(x)恒成立;
对于C,在I上,g(x)的最小值大于f(x)的最大值,则g(x)>f(x)恒成立,反之不成立;
对于D,g(x)>f(x)恒成立等价于在I上,g(x)-f(x)的最小值大于零.
对于B,有无穷多个x∈I,使g(x)>f(x),也不能保证g(x)>f(x)恒成立;
对于C,在I上,g(x)的最小值大于f(x)的最大值,则g(x)>f(x)恒成立,反之不成立;
对于D,g(x)>f(x)恒成立等价于在I上,g(x)-f(x)的最小值大于零.
解答:解:对于A,有一个x∈I,使g(x)>f(x),则g(x)>f(x)不恒成立,故A不正确;
对于B,有无穷多个x∈I,使g(x)>f(x),也不能保证g(x)>f(x)恒成立,故B不正确;
对于C,在I上,g(x)的最小值大于f(x)的最大值,则g(x)>f(x)恒成立,反之,g(x)>f(x)恒成立,g(x)的最小值大于f(x)的最大值不一定成立,故C不正确;
对于D,g(x)>f(x)恒成立等价于在I上,g(x)-f(x)的最小值大于零,故是充要条件
故选D.
对于B,有无穷多个x∈I,使g(x)>f(x),也不能保证g(x)>f(x)恒成立,故B不正确;
对于C,在I上,g(x)的最小值大于f(x)的最大值,则g(x)>f(x)恒成立,反之,g(x)>f(x)恒成立,g(x)的最小值大于f(x)的最大值不一定成立,故C不正确;
对于D,g(x)>f(x)恒成立等价于在I上,g(x)-f(x)的最小值大于零,故是充要条件
故选D.
点评:本题考查四种条件的判定,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
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