题目内容

2012年3月2日,江苏卫视推出全新益智答题类节目《一站到底》,甲、乙两人报名参加《一站到底》面试的初试选拔,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中的6题,乙能答对其中的8题.规定每次抢答都从备选题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题初试才能通过.
(Ⅰ)求甲答对试题数ξ的概率分布列及数学期望;
(Ⅱ)求甲、乙两人至少有一人初试通过的概率.
(Ⅰ)由题意,甲答对试题数ξ的可能取值为0、1、2、3,
则P(ξ=0)=
C34
C310
=
1
30
,P(ξ=1)=
C16
C24
C310
=
3
10
,P(ξ=2)=
C26
C14
C310
=
1
2

P(ξ=3)=
C36
C310
=
1
6
,故其分布列如下:
ξ0123
P
1
30
3
10
1
2
1
6
…(6分)
故甲答对试题数ξ的数学期望Eξ=
1
30
+1×
3
10
+2×
1
2
+3×
1
6
=
9
5
.…(8分)
(Ⅱ)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B,
则P(A)=
C26
C14
+
C36
C310
=
60+20
120
=
2
3
,P(B)=
C28
C12
+
C38
C310
=
56+56
120
=
14
15

因为事件A、B独立,所以甲乙两人均通不过的概率为:P(
.
A
.
B
)=P(
.
A
)P(
.
B

=(1-
2
3
)(1-
14
15
)=
1
3
×
1
15
=
1
45

故甲、乙两人至少有一人通过的概率为P=1-P(
.
A
.
B
)=1-
1
45
=
44
45
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