Question

13．如图，已知一艘船以30海里/小时的速度往北偏东15°的A岛行驶，计划到A岛后再到B岛；B岛在A岛的北偏西60°的方向上，船到达C处时测得B岛在北偏西30°的方向，经过20分钟到达D处，测得B岛在北偏西45°的方向．
（$\sqrt{2}$≈1.414，$\sqrt{3}$≈1.732，$\sqrt{6}$≈2.449）
（1）求船从D处到达A处大约需要多少分钟？（精确到1分钟）
（2）求AB的距离（精确到0.1海里）

Answer 1

分析 （1）由B向CA延长线作垂线，设出BE，表示出CD，进而求得x，分别求得DE，AE，进而求得CD，除去速度即可求得时间．
（2）根据（1）中求得的BE，进而求得AB．

解答
解：（1）由B向CA延长线作垂线，垂足为E，
根据题意知CD=$\frac{1}{3}$×30=10（海里），
设BE为x，则在△ABE中，AE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
在△BDE中，DE=x，
在△BCE中，EC=$\sqrt{3}$x，
则CD=CE-DE=$\sqrt{3}$x-x=10，
求得x=5（$\sqrt{3}$+1），
AD=DE-AE=x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$x=$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$•$\frac{10}{\sqrt{3}-1}$=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$．
$\frac{AD}{30}$•60=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$×$\frac{1}{30}$×60=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$≈12（分钟），
故船从D处到达A处大约需要12分钟．
（2）由（1）知，AB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×5（$\sqrt{3}$+1）≈15.8（海里）
故AB的距离为约为15.8海里．

点评 本题主要考查了解三角形问题的实际应用．考查了学生分析解决问题的能力．