Question

已知数列{a_n}的前n项和为Sn，a1=1，a4=8，Sn=b•qn+c（q≠0，q≠±1，bc≠0，b+c=0），现把数列{a_n}的各项排成如图所示的三角形形状．记A（m，n）为第m行从左起第n个数（m、n∈N^*）．有下列命题：
①{a_n}为等比数列且其公比q=±2；
②当n=2m（m＞3）时，A（m，n）不存在；
③a28=A(6，9)，A(11，1)=2100；
④假设m为大于5的常数，且A(m，1)=am1，A(m，2)=am2…A(m，k)=amk，其中amk为A（m，n）的最大值，从所有m₁，m₂，m₃，…，m_k中任取一个数，若取得的数恰好为奇数的概率为

m-1

2m-1

，则m必然为偶数．
其中你认为正确的所有命题的序号是

②③④

．

Answer 1

分析：①n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（bq-b）q^n-1，故可得数列{a_n}是等比数列，由a₁=1，a₄=8，可得公比q=2，；
②第m行共有2m-1个数，而n=2m（m＞3，m、n∈N^*）；
③由图形可知，奇数行，按下标顺序从小到大排列，偶数行，按下标顺序从大到消排列，且第6行的第一个数为a₃₆，第11行的第一个数为a₁₀₁；
④an=2n-1，m为大于5的常数，且A(m，1)=am1，A(m，2)=am2…A(m，k)=amk，A（m，1）=2m1-1，A（m，2）=2m2-1，…，A（m，k）=2mk-1，由此能够得到结论．

解答：解：①n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（bq-b）q^n-1，∴

an+1

an

=q，∴数列{a_n}是等比数列，
∵a₁=1，a₄=8，∴公比q=2，故①不正确；
②∵第m行共有2m-1个数，∴n=2m（m＞3，m、n∈N^*）时，A（m，n）不存在，故②正确；
③由图形可知，奇数行，按下标顺序从小到大排列，
偶数行，按下标顺序从大到小排列，
且第6行的第一个数为a₃₆，
第11行的第一个数为a₁₀₁，
故a28=A（6，9），A（11，1）=2100，即③正确；
④∵an=2n-1，m为大于5的常数，且A(m，1)=am1，A(m，2)=am2…A(m，k)=amk，
∴A（m，1）=2m1-1，A（m，2）=2m2-1，…，A（m，k）=2mk-1，
∵从所有m₁，m₂，m₃，…，m_k中任取一个数，取得的数恰好为奇数的概率为

m-1

2m-1

，
∴m必然为偶数，故④正确．
故答案为：②③④．

点评：本题主要考查学生对数列的观察能力，应用能力，及等比数列的通项，属中档题型．