题目内容

已知椭圆E的左,右焦点坐标分别为(-2,0),(2,0),离心率是
6
3
,过左焦点任作一条与坐标轴不垂直的直线交E于A、B两点.
(1)求E的方程;
(2)已知点M(-3,0),试判断直线AM与直线BM的倾斜角是否总是互补,并说明理由.
分析:(1)设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,由题意知
c=2
c
a
=
6
3
,由此能求出椭圆方程.
(2)直线AM与直线BM的倾斜角总是互补.理由如下:设AB的方程为:y=k(x+2),k≠0,联立
y=k(x+2)
x2
6
+
y2
2
=1
,得(1+3k2)x2+12k2x+12k2-6=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=
-12k2
1+3k2
x1x2=
12k2-6
1+3k2
,由此得到kAM=-kBM,故直线AM与直线BM的倾斜角总是互补.
解答:解:(1)设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)

由题意知
c=2
c
a
=
6
3

解得a2=6,b2=2,
∴椭圆方程为
x2
6
+
y2
2
=1

(2)直线AM与直线BM的倾斜角总是互补.理由如下:
根据题意设AB的方程为:y=k(x+2),k≠0,
联立
y=k(x+2)
x2
6
+
y2
2
=1
,得(1+3k2)x2+12k2x+12k2-6=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
x1+x2=
-12k2
1+3k2
,①
x1x2=
12k2-6
1+3k2
,②
kAM+kBM=
y1
x1+3
+
y2
x2+3

=
k(x1+2)
x1+3
+
k(x2+2)
x2+3

=
k[2x1x2+5(x1+x2)+12]
x1x2+3(x1+x2)+9

把①②代入,得2x1x2+5(x1+x2)+12=0,
∴kAM+kBM=0,即kAM=-kBM
∴直线AM与直线BM的倾斜角总是互补.
点评:本题主要考查椭圆标准方程,简单几何性质,直线与椭圆的位置关系,椭圆方程的求法.考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.解题时要认真审题,仔细解答.
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