题目内容

已知直线l₀：x-y+2=0和圆C：x²+y²-8x+8y+14=0，设与直线l₀和圆C都相切且半径最小的圆为圆M，直线l与圆M相交于A，B两点，且圆M上存在点P，使得 $数学公式$ ，其中 $数学公式$ ．
（1）求圆M的标准方程；
（2）求直线l的方程及相应的点P坐标．

解：（1）∵圆C：x²+y²-8x+8y+14=0，即（x-4）²+（y+4）²=18，
所以圆心C（4，-4），半径r₀=3 $\text{[math]}$ ，圆心C到直线l₀的距离d₀= $\text{[math]}$ =5 $\text{[math]}$ ，
则⊙M的半径r= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
⊙M的圆心M在经过点C（4，-4），与l₀的垂直的直线上，即在直线y=-x上
设圆心M（x₀，-x₀），则由|MC|=r+r₀= $\text{[math]}$ ，解得M（0，0）或（8，-8）
其中只有M（0，0）满足到直线l₀的距离为半径r= $\text{[math]}$ ，即符合题意
⊙M的标准方程为：x²+y²=2．
（2）由 $\text{[math]}$ =（λ，3λ），即点P（l，3l）代入⊙M：x²+y²=2，，得l= $\text{[math]}$ ，
P（ $\text{[math]}$ ）或（ $\text{[math]}$ ），且k_OP=3，
∵ $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
设直线l：y=- $\text{[math]}$ x+b，即x+3y-3b=0，
圆心M（0，0）到直线l的距离 $\text{[math]}$ ，
解得3b= $\text{[math]}$ 则当点P（ $\text{[math]}$ ）时，l：x+3y- $\text{[math]}$ =0；
当点P（ $\text{[math]}$ ）时，l：x+3y+ $\text{[math]}$ =0．
分析：（1）化简圆C为标准方程（x-4）²+（y+4）²=18，求出圆心C（4，-4），半径r₀=3 $\text{[math]}$ ，求出圆心C到直线l₀的距离d₀，推出⊙M的半径r，利用⊙M的圆心M在经过点C（4，-4），与l₀的垂直的直线上，设出圆心M（x₀，-x₀），则由|MC|=r+r₀，解得M坐标，求出M的标准方程．
（2）由 $\text{[math]}$ =（λ，3λ），求出P的坐标，求出k_AB，设直线l：y=- $\text{[math]}$ x+b，利用圆心M（0，0）到直线l的距离，求出P，得到直线l的方程．
点评：本题考查直线与圆的方程的综合应用，圆心坐标的求法，圆心到直线的距离的求法，考查计算能力，转化思想．