Question

已知直线l₀：x-y+2=0和圆C：x²+y²+4x-4y+4=0
（Ⅰ）若直线l₀交圆C于A，B两点，求|AB|；
（Ⅱ）求过点P（-4，5）的圆的切线方程．

Answer 1

分析：（1）求出圆C的圆心和半径，利用点到直线的距离公式算出点C到直线l₀的距离d，再根据垂径定理加以计算，可得弦AB的长度．
（2）当直线的斜率k存在时，设方程为y-5=k（x+4），根据直线与圆C相切，利用点到直线的距离公式建立关于k的方程，解出k=-

5

12

．而直线斜率不存在时，方程为x=-4，也是圆的一条切线，由此即可得到过点P的圆的两条切线方程．

解答：解：（1）∵圆C：x²+y²+4x-4y+4=0，
∴圆C化成标准方程，得（x+2）²+（y-2）²=4，
可得圆心为C（-2，2），半径r=2．
∵圆心到直线l₀：x-y+2=0的距离d=

|(-2)-2+2|

2

=

2

∴由垂径定理，得|AB|=2

r2-d2

=2

2

…（6分）
（2）①当直线斜率不存在时，直线方程为x=-4，
该直线是圆的一条切线，符合题意；
②当直线的斜率k存在时，由直线经过点（-4，5）设直线方程为y-5=k（x+4），
化简得kx-y+4k+5=0．
∵直线与圆相切，∴圆心C到直线的距离为d'=r，
即

|-2k-2+4k+5|

k2+1

=2，解之得k=-

5

12

．
∴此时切线方程为y-5=-

5

12

（x+4），化简得5x+12y-40=0．
综上所述，所求切线有两条：x=-4与5x+12y-40=0．

点评：本题求直线被圆截得的弦长，并求经过定点的圆的切线方程．着重考查了直线的基本量与基本形式、圆的性质、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．