Question

（07年福建卷文）（本小题满分12分）

设函数f(x)=tx²+2t²x+t-1(x∈R,t>0).

(I)求f (x)的最小值h(t);

(II)若h(t)<-2t+m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围.

Answer 1

本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力.

解析：（I）∵   （），

∴当x=-t时，f(x)取最小值f(-t)=-t²+t-1,

即h(t)=-t³+t-1.

(II)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t³+3t-1-m,

由g’(t)=-3t²+3=0得t=1,t=-1（不合题意，舍去）.

当t变化时g’(t)、g(t)的变化情况如下表：

T	(0,1)	1	(1,2)
g’(t)	+	0	-
g(t)	递增	极大值1-m	递减

 

∴g(t)在（0，2）内有最大值g(1)=1-m

h(t)<-2t+m在（0，2）内恒成立等价于g(t)<0在（0，2）内恒成立，

即等价于1-m<0

所以m的取值范围为m>1