Question

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，下面结论错误的是（　　）

A．BD∥平面CB₁D₁

B．AC₁⊥BD

C．AC₁⊥平面CB₁D₁

D．sin2∠BAC1+sin2∠A1AC1+sin2∠DAC1=1

Answer 1

分析：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，根据BD∥B₁D₁，判断BD与平面CB₁D₁的关系；连接AC，根据AC⊥BD，CC₁⊥BD，判断AC₁和BD的位置关系；根据AC₁⊥B₁D₁，B₁C⊥AC₁，判断AC₁与平面CB₁D₁的关系；根据sin²∠BAC₁+sin²∠A₁AC₁+sin²∠DAC₁=2，判断D的正误．

解答：解：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵BD∥B₁D₁，BD?平面CB₁D₁，B₁D₁?平面CB₁D₁，
∴BD∥平面CB₁D₁，故A正确；
连接AC，∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，
∴AC⊥BD，CC₁⊥BD，
∴BD⊥平面ACC₁，
∵AC₁?平面ACC₁，∴AC₁⊥BD，故B正确；
∵AC₁⊥BD，B₁D₁∥BD，
∴AC₁⊥B₁D₁，
连接BC₁，∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，
∴BC₁⊥B₁C，B₁C⊥AB，
∴B₁C⊥平面ABC₁，
∵AC₁?平面ABC₁，∴B₁C⊥AC₁，
∴AC₁⊥平面CB₁D₁，故C正确；
∵sin∠BAC₁=

BC1

AC1

，sin∠A₁AC₁=

A1C1

AC1

，sin∠DAC₁=

DC1

AC1

，
∴sin²∠BAC₁+sin²∠A₁AC₁+sin²∠DAC₁
=

BC12+A1C12+DC12

AC12

=

2(AA12+AD2+AB2)

AA12+AD2+AB2

=2．故D不正确．
故选D．

点评：本题考查棱柱的结构特征的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．