Question

已知函数f（x）=-lnx，x∈（0，e）．在曲线y=f（x）上某一点作切线与x轴和y轴分别交于A、B两点，设O为坐标原点，则△AOB面积的最大值为

2

e

．

Answer 1

分析：由f（x）的解析式求出f（x）的导函数，把x=t代入导函数即可求出切线的斜率，把t代入f（x）即可求出切点的纵坐标，根据切点的坐标和斜率表示出切线的方程，然后令y=0得到点A的横坐标，令x=0得到点B的纵坐标，根据t的范围得到求出的A的横坐标和B的纵坐标都大于0，然后利用三角形的面积公式表示出三角形AOB的面积S，得到S与t的函数关系式，求出S的导函数，令导函数大于0，得到函数的增区间，令导函数小于0得到函数的减区间，根据函数的增减性即可得到S的最大值．

解答：解：设切点为（t，f（t））
由已知 f′(x)=-

1

x

，
所以曲线y=f（x）在点（t，f（t））处的切线方程为 y+lnt=-

1

t

(x-t)．
令y=0，得A点的横坐标为x_A=t（1-lnt），
令x=0，得B点的纵坐标为y_B=1-lnt，
当t∈（0，e）时，x_A＞0，y_B＞0，
此时△AOB的面积 S=

1

2

t(1-lnt)2，S′=

1

2

(lnt-1)(lnt+1)，
解S'＞0，得 0＜t＜

1

e

；解S'＜0，得

1

e

＜t＜e．
所以 (0，

1

e

)是函数 S=

1

2

t(1-lnt)2的增区间； (

1

e

，e)是函数的减区间．
所以，当 t=

1

e

时，△AOB的面积最大，最大值为

1

2

×

1

e

(1-ln

1

e

)2=

2

e

．
故答案为：

2

e

．

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数求闭区间上函数的最大值，是一道中档题．