Question

15．已知函数f（x）=log₂（1-x）-1og₂（1+x）．
（1）求函数的定义域；
（2）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（3）证明；当x∈（-1，1）时，对于任意实数k∈R，关于x的方程f（x）=k有且仅有一解．

Answer 1

分析 （1）由真数大于零列出不等式组，解出即可；
（2）根据函数奇偶性的定义判断f（-x）和f（x）的关系，得出结论；
（3）f（x）=log₂（$\frac{2}{x+1}-1$），本题转化为证明f（x）的值域为R，即证明g（x）=$\frac{2}{x+1}-1$值域为（0，+∞）．

解答 解：（1）由函数有意义得
$\left\{\begin{array}{l}{1-x＞0}\\{1+x＞0}\end{array}\right.$，解得-1＜x＜1．
∴函数f（x）的定义域为（-1，1）．
（2）f（x）是奇函数．证明如下：
由（1）知f（x）的定义域关于原点对称．
∵f（-x）=log₂（1+x）-1og₂（1-x）=-f（x）．
∴f（x）=log₂（1-x）-1og₂（1+x）是奇函数．
（3）f（x）=log₂（1-x）-1og₂（1+x）=log₂$\frac{1-x}{1+x}$=log₂（$\frac{2}{x+1}-1$）．
令g（x）=$\frac{2}{x+1}-1$，则g（x）在（-1，1）上是减函数，画出g（x）图象如图：

由图象得g（x）在（-1，1）上的值域为（0，+∞）．
∴f（x）=log₂（$\frac{2}{x+1}-1$）在（-1，1）上是减函数，且f（x）在（-1，1）上的值域为R．
∴当x∈（-1，1）时，对于任意实数k∈R，关于x的方程f（x）=k有且仅有一解．

点评 本题考查了对数函数的定义域，函数的奇偶性，及复合函数的单调性和值域，属于综合题．