Question

(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
已知函数．
(1) 试说明函数的图像是由函数的图像经过怎样的变换得到的；
(2) (理科)若函数，试判断函数的奇偶性，并用反证法证明函数的最小正周期是；
(3) 求函数的单调区间和值域．

Answer 1

解(1)∵
，     
∴．
∴函数的图像可由的图像按如下方式变换得到：
①将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像；
②将函数的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数的图像；
③将函数的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数的图像．
(2)(理科)由(1)知，，
　∴．
又对任意，有，
　∴函数是偶函数．
　∵，
∴是周期函数，是它的一个周期．
现用反证法证明是函数的最小正周期。
反证法：假设不是函数的最小正周期，设是的最小正周期．
则，即．
令，得，两边平方后化简，得，这与()矛盾．因此，假设不成立．
所以，函数的最小正周期是．
(3)(理科)先求函数在一个周期内的单调区间和函数值的取值范围。
当时，，且．
易知，此时函数的单调增区间是，单调减区间是；
函数的取值范围是．
因此，依据周期函数的性质，可知函数的单调增区间是
；单调减区间是；
函数的值域是．

横坐标先放缩，再平移也可．即将函数的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数，再将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，最后将函数的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数的图像．