题目内容
已知
，动点P满足|PF1|+|PF2|=4，记动点P的轨迹为E．（1）求E的方程；
（2）曲线E的一条切线为l，过F1，F2作l的垂线，垂足分别为M，N，求|F1M|•|F2N|的值；
（3）曲线E的一条切线为l，与x轴分别交于A，B两点，求|AB|的最小值，并求此时切线的斜率．
【答案】分析：（1）由题意可知P点轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，
，由此能求出E的方程．
（2）当切线斜率不存在时，切线为x=±2，此时|F1M|•|F2N|=1．当切线斜率存在时，设切线方程为y=kx+b，则由题意可知，
，所以|F1M|•|F2N|=1．
（3）由（2）知，
，由此可求出AB的最小值为3，此时斜率为
．
解答：解：（1）∵
又∵
∴P点轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，
，
故椭圆方程为
（2）①当切线斜率不存在时，切线为x=±2，此时|F1M|•|F2N|=1．
②当切线斜率存在时，设切线方程为y=kx+b，
（1+4k2）x2+8kbx+4b2-4=0
△=（8kb）2-4（1+4k2）（4b2-4）=0，
∴b2=4k2，
，
，
，
综上所述，|F1M|•|F2N|=1．
（3）由（2）知，
，
当且仅当
，即
时取等号
故AB2的最小值为3，此时斜率为
点评：本题综合考查直线和椭圆的位置关系，解题时要注意均值不等式的合理运用．
，由此能求出E的方程．（2）当切线斜率不存在时，切线为x=±2，此时|F1M|•|F2N|=1．当切线斜率存在时，设切线方程为y=kx+b，则由题意可知，
，所以|F1M|•|F2N|=1．（3）由（2）知，
，由此可求出AB的最小值为3，此时斜率为．解答：解：（1）∵
又∵
∴P点轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，
，故椭圆方程为
（2）①当切线斜率不存在时，切线为x=±2，此时|F1M|•|F2N|=1．
②当切线斜率存在时，设切线方程为y=kx+b，
（1+4k2）x2+8kbx+4b2-4=0△=（8kb）2-4（1+4k2）（4b2-4）=0，
∴b2=4k2，
，，，综上所述，|F1M|•|F2N|=1．
（3）由（2）知，
，当且仅当
，即时取等号故AB2的最小值为3，此时斜率为
点评：本题综合考查直线和椭圆的位置关系，解题时要注意均值不等式的合理运用．
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