题目内容
已知
(1)求E的方程;
(2)曲线E的一条切线为l,过F1,F2作l的垂线,垂足分别为M,N,求|F1M|•|F2N|的值;
(3)曲线E的一条切线为l,与x轴分别交于A,B两点,求|AB|的最小值,并求此时切线的斜率.
【答案】分析:(1)由题意可知P点轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,
,由此能求出E的方程.
(2)当切线斜率不存在时,切线为x=±2,此时|F1M|•|F2N|=1.当切线斜率存在时,设切线方程为y=kx+b,则由题意可知,
,所以|F1M|•|F2N|=1.
(3)由(2)知,
,由此可求出AB的最小值为3,此时斜率为
.
解答:解:(1)∵
又∵
∴P点轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,
,
故椭圆方程为
(2)①当切线斜率不存在时,切线为x=±2,此时|F1M|•|F2N|=1.
②当切线斜率存在时,设切线方程为y=kx+b,
(1+4k2)x2+8kbx+4b2-4=0
△=(8kb)2-4(1+4k2)(4b2-4)=0,
∴b2=4k2,
,
,
,
综上所述,|F1M|•|F2N|=1.
(3)由(2)知,
,

当且仅当
,即
时取等号
故AB2的最小值为3,此时斜率为
点评:本题综合考查直线和椭圆的位置关系,解题时要注意均值不等式的合理运用.

(2)当切线斜率不存在时,切线为x=±2,此时|F1M|•|F2N|=1.当切线斜率存在时,设切线方程为y=kx+b,则由题意可知,

(3)由(2)知,



解答:解:(1)∵

又∵

∴P点轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,

故椭圆方程为

(2)①当切线斜率不存在时,切线为x=±2,此时|F1M|•|F2N|=1.
②当切线斜率存在时,设切线方程为y=kx+b,

△=(8kb)2-4(1+4k2)(4b2-4)=0,
∴b2=4k2,



综上所述,|F1M|•|F2N|=1.
(3)由(2)知,



当且仅当


故AB2的最小值为3,此时斜率为

点评:本题综合考查直线和椭圆的位置关系,解题时要注意均值不等式的合理运用.

练习册系列答案
相关题目