Question

已知平面上两定点M（0，-2）、N（0，2），P为一动点，满足

.

MP

-

.

MN

=|

.

PN

|-|

.

MN

|．
（I）求动点P的轨迹C的方程；
（II）若A、B是轨迹C上的两不同动点，且

.

AN

=λ

.

NB

．分别以A、B为切点作轨迹C的切
线，设其交点Q，证明

.

NQ

-

.

AB

为定值．

Answer 1

分析：（I）先设P（x，y），欲动点P的轨迹C的方程，即寻找x，y之间的关系，结合向量的坐标运算即可得到．
（II）先设出A，B两点的坐标，利用向量关系及向量运算法则，用A，B的坐标表示出

.

NQ

-

.

AB

，最后看其是不是定值即可．

解答：解：（I）设P（x，y）．
由已知

MP

=（x，y+2），

MN

=（0，4），

PN

=（-x，2-y），

MP

•

MN

=4y+8．
|

PN

|•|

MN

|=4x²+（y-2）²（3分）
∵

MP

•

MN

=|

PN

|•|

MN

|
∴4y+8=4x²+（y-2）²整理，得x²=8y
即动点P的轨迹C为抛物线，其方程为x²=8y．（6分）
（II）由已知N（0，2）．
即得（-x₁，2-y₁）=λ（x₂，y₂-2）

-x1=λx2 2-y1=λ(y2-2)

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由

AN

=λ

NB

即得（-x₁，2-y₁）=λ（x₂，y₂-2），
∴-x₁=λx₂…（1），
2-y₁=λ（y₂-2）…（2）
将（1）式两边平方并把x₁²=8y₁，x₂²=8y₂代入得y₁=λy₂（3分）
解得 y₁=2λ，y₂=

2

λ

，
且有x₁x₂=-λx₂²=-8λy₂=-16．（8分）
抛物线方程为 y=18x₂，求导得y′=

1

4

x．
所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是 y=

1

4

x₁（x-x₁）+y₁，y=

1

4

x²（x-x₂）+y₂，
即y=

1

4

x₁x-

1

8

x₁²，y=

1

4

x₂x-

1

8

x₂²
解出两条切线的交点Q的坐标为 （

x1+x2

2

，

x1x2

8

）=（

x1+x2

2

，-2）（11分）
所以

NQ

•

AB

=（

x1+x2

2

，-4）•（x₂-x₁，y₁-y₂）
=

1

2

（x₂²-x₁²）-4（

1

8

x₂²-

1

8

x₁²）=0
所以

.

NQ

•

.

AB

为定值，其值为0．（13分）

点评：求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题   求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系．