题目内容
已知点A（0，-2），B（0，4），动点P（x，y）满足
•
=y2-8；
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）设（1）中所求轨迹方程与直线y=x+2交于C、D两点；求证OC⊥OD（O为坐标原点）．
| PA |
| PB |
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）设（1）中所求轨迹方程与直线y=x+2交于C、D两点；求证OC⊥OD（O为坐标原点）．
分析：（1）由
=(-x，-2-y)，
=(-x，4-y)，代入
•
=y2-8可求
（2）联立
，设C（x1，y1），D（x2，y2），则根据方程的根与系数关系可求x1+x2，x1x2，由y1y2=（x1+2）（x2+2）=x1x2+2（x1+x2）+4，代入到
•
=x1x2+y1y2可证OC⊥OD
| PA |
| PB |
| PA |
| PB |
（2）联立
|
| OC |
| OD |
解答：解：（1）∵A（0，-2），B（0，4），P（x，y）
∴
=(-x，-2-y)，
=(-x，4-y)
∵
•
=y2-8
∴-x（-x）+（4-y）（-2-y）=y2-8
整理可得，x2=2y
（2）联立
可得x2-2x-4=0
设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=2，x1x2=-4，
∴y1y2=（x1+2）（x2+2）=x1x2+2（x1+x2）+4=4
∵
•
=x1x2+y1y2=0
∴OC⊥OD
∴
| PA |
| PB |
∵
| PA |
| PB |
∴-x（-x）+（4-y）（-2-y）=y2-8
整理可得，x2=2y
（2）联立
|
设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=2，x1x2=-4，
∴y1y2=（x1+2）（x2+2）=x1x2+2（x1+x2）+4=4
∵
| OC |
| OD |
∴OC⊥OD
点评：本题主要考查了利用向量的数量积的坐标表示求解点的轨迹方程，直线与抛物线相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，主要考查了计算的能力．
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