题目内容
【题目】已知F1，F2分别是双曲线C：
的左、右焦点，若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线C的离心率为________．
【答案】2
【解析】
设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于点A，根据对称关系和已知条件可得∠F1MF2为直角，根据勾股定理可得c＝2a，由此可得离心率.
由题意，得F1(－c,0)，F2(c,0)，一条渐近线方程为y＝
x，
则F2到渐近线的距离为
，
设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于点A，则|MF2|＝2b，A为F2M的中点．
如图：
又O是F1F2的中点，∴OA∥F1M，
∴∠F1MF2为直角，
∴△MF1F2为直角三角形，
∴由勾股定理，得4c2＝c2＋4b2，
∴3c2＝4(c2－a2)，∴c2＝4a2，
∴c＝2a，∴e＝2.
故答案为：2
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