题目内容
5.已知点A(a,b),B(x,y)为函数y=x2的图象上两点,且当x>a时,记|AB|=g(x);若函数g(x)在定义域(a,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为[-$\sqrt{2}$,$\sqrt{2}$].分析 根据两点之间距离公式,求出函数g(x)的解析式,结合函数g(x)在定义域(a,+∞)上单调递增,g′(x)≥0恒成立,可得实数a的取值范围.
解答 解:∵点A(a,b),B(x,y)为函数y=x2的图象上两点,
则b=a2,y=x2,
∴当x>a时,记|AB|=g(x)=$\sqrt{(x-a)^{2}+({x}^{2}-{a}^{2})^{2}}$=(x-a)$\sqrt{1+(x+a)^{2}}$,
若函数g(x)在定义域(a,+∞)上单调递增,
则g′(x)=$\sqrt{1+(x+a)^{2}}$+$\frac{{x}^{2}-{a}^{2}}{\sqrt{1+{(x+a)}^{2}}}$=$\frac{{1+{(x+a)}^{2}+x}^{2}-{a}^{2}}{\sqrt{1+{(x+a)}^{2}}}$=$\frac{{2x}^{2}+2ax+1}{\sqrt{1+{(x+a)}^{2}}}$≥0恒成立,
则2x2+2ax+1≥0恒成立,
则△=4a2-8≤0,
解得:a∈[-$\sqrt{2}$,$\sqrt{2}$],
即实数a的取值范围为[-$\sqrt{2}$,$\sqrt{2}$],
故答案为:[-$\sqrt{2}$,$\sqrt{2}$]
点评 本题考查的知识点是函数的单调性,两点间距离公式,导数法判断函数的单调性,难度中档.
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A. | [-4,2] | B. | [-2,2] | C. | [-2,4] | D. | [1-2$\sqrt{3}$,1+2$\sqrt{3}$] |