Question

17．已知Rt△ABC的斜边AB的长为3，设P是以C为圆心1为半径的圆上的任意一点，则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范围是（　　）

• A． [-4，2]
• B． [-2，2]
• C． [-2，4]
• D． [1-2$\sqrt{3}$，1+2$\sqrt{3}$]

Answer 1

分析 以CA为x轴，CB为y轴建立直角坐标系，设∠BAC=α，则A（3cosα，0），B（0，3sinα），P（cosθ，sinθ），再代入计算即可．

解答 解：以CA为x轴，CB为y轴建立直角坐标系，设∠BAC=α，
则A（3cosα，0），B（0，3sinα），P（cosθ，sinθ），
∴$\overrightarrow{PA}$=（cosθ-3cosθ，sinθ），$\overrightarrow{PB}$=（cosθ，sinθ-3sinθ），
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=cosθ（cosθ-3cosα）+sinθ（sinθ-3sinα）=1-3cos（θ-α）∈[-2，4]，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$∈[-2，4]．
故选为：C．

点评 本题的关键在于设出∠BAC=α，然后用三角代换表示各点的坐标，这样使得问题容易表达并易于求解，属中档题．