Question

把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图所示的数表：
设a_ij（i、j∈N*）是位于这个数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数．数表中第i行共有2^i-1个正整数．
（1）若a_ij=2010，求i、j的值；
（2）记A_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn（n∈N^*），试比较A_n与n²+n的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题目中图中数的排列规律，我们发现图中是把正整数按从小下大、左小右大的原则进行排列，且第i行的第一个数是2^i-1，由此不难推断2010的位置．
（2）由（1）的结论，我们易对A_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn（n∈N^*），进行化简，并写出A_n与n²+n的前若干项，观察后，可根据归纳推理对A_n与n²+n的大小进行猜想，然后再用数学归纳法进行证明．

解答：解：（1）数表中前n行共有1+2+2²++2^n-1=2ⁿ-1个数，
即第i行的第一个数是2^i-1，
∴a_ij=2^i-1+j-1．
∵2¹⁰＜2010＜2¹¹，a_ij=2010，
∴i=11．
令2¹⁰+j-1=2010，
解得j=2010-2¹⁰+1=987．

（2）∵A_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn
=（1+2+2²+…+2^n-1）+[0+1+2+…+（n-1）]
=2n-1+

n(n-1)

2

∴An-(n2+n)=2n-1+

n(n-1)

2

-(n2+n)=2n-

n2+3n+2

2

．
当n=1时，2n＜

n2+3n+2

2

，则A_n＜n²+n；
当n=2时，2n＜

n2+3n+2

2

，则A_n＜n²+n；
当n=3时，2n＜

n2+3n+2

2

，则A_n＜n²+n；
当n≥4时，猜想：2n＞

n2+3n+2

2

．
下面用数学归纳法证明猜想正确．
①当n=4时，24=16＞

42+3×4+2

2

，
即2n＞

n2+3n+2

2

成立；
②假设当n=k（k≥4）时，猜想成立，即2k＞

k2+3k+2

2

，
则2k+1=2×2k＞2×

k2+3k+2

2

=k2+3k+2，
∵k2+3k+2-

(k+1)2+3(k+1)+2

2

=

2k2+6k+4-k2-5k-6

2

=

(k+2)(k-1)

2

＞0，
∴2k+1＞

(k+1)2+3(k+1)+2

2

．
即当n=k+1时，猜想也正确．
由①、②得当n≥4时，2n＞

n2+3n+2

2

成立．
当n≥4时，A_n＞n²+n．
综上所述，当n=1，2，3时，A_n＜n²+n；当n≥4时，A_n＞n²+n．

点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．