题目内容

已知函数,其中a,b∈R.
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为y=3x+1,求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅲ)若对于任意的,不等式f(x)≤10在上恒成立,求b的取值范围.
【答案】分析:(Ⅰ)根据导数的几何意义即为点的斜率,再根据f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为y=3x+1,解出a值;
(Ⅱ)由题意先对函数y进行求导,解出极值点,因极值点含a,需要分类讨论它的单调性;
(Ⅲ)已知,恒成立的问题,要根据(Ⅱ)的单调区间,求出f(x)的最大值,让f(x)的最大值小于10就可以了,从而解出b值.
解答:解:(Ⅰ)解:,由导数的几何意义得f'(2)=3,于是a=-8.
由切点P(2,f(2))在直线y=3x+1上可得-2+b=7,解得b=9.
所以函数f(x)的解析式为
(Ⅱ)解:
当a≤0时,显然f'(x)>0(x≠0).这时f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上内是增函数.
当a>0时,令f'(x)=0,解得
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:

所以f(x)在内是增函数,在,(0,+∞)内是减函数.
综上,当a≤0时,f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上内是增函数;
当a>0时,f(x)在内是增函数,在,(0,+∞)内是减函数.
(Ⅲ)解:由(Ⅱ)知,f(x)在上的最大值为与f(1)的较大者,对于任意的,不等式f(x)≤10在上恒成立,当且仅当
,对任意的成立.
从而得,所以满足条件的b的取值范围是
点评:本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识,考查运算能力、综合分析和解决问题的能力.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网