题目内容

21、正整数a1a2…an…a2n-2a2n-1称为凹数，如果a1＞a2＞…an，且a2n-1＞a2n-2＞…＞an，其中ai（i=1，2，3，…）∈{0，1，2，…，9}，请回答三位凹数a1a2a3（a1≠a3）共有
240
个（用数字作答）．
分析：利用凹数的定义得出凹数各位数字上的数字满足的条件是解决该计数问题的关键．相当于取三个数，中间放最小的，两边放其他的两位数字．
解答：解：三位凹数共有的个数可以分两步来求：第一步，先从10个数字中选出三个不同的数，共有C103种，
第二步，将这三个不同数字中最小的放在中间，剩余的两个按顺序排在最高位和最低位，有A22种，
根据分步乘法原理得出三位凹数共有的个数为C103•A22=240．
故答案为：240
点评：本题考查排列组合的有关知识，考查对新定义问题的理解能力，考查先选后排的思想和分步乘法原理．属于组合模型的转化问题．
练习册系列答案
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已知函数f(x)=
2x+3
3x
，数列an满足a1=1，an+1=f(
1
an
)，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1，求a2n-1-a2n+1及Tn；
（3）令bn=
1
an-1an
(n≥2)，b1=1，Sn=b1+b2+…+bn，若Sn＜
m-2004
2
对一切n∈N*成立，求最小正整数m．
已知函数f（x）在其定义域上满足xf（x）+2af（x）=x+a-1（a＞0）．
（1）函数y=f（x）的图象是否是中心对称图形？若是，请指出其对称中心（不证明）；
（2）当f(x)∈[
1
2
，
4
5
]时，求x的取值范围；
（3）若f（0）=0，数列{an}满足a1=1，那么：
①若0＜an+1≤f（an），正整数N满足n＞N时，对所有适合上述条件的数列{an}，an＜
1
10
恒成立，求最小的N；
②若an+1=f（an），求证：a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1＜
3
7
．
数列{an}满足：a1=
1
4
，a2=
1
5
，且a1a2+a2a3+…+anan+1=na1an+1对任何的正整数n都成立，则
1
a1
+
1
a2
+…+
1
a97
的值为（　　）
正整数a1a2…an…a2n-2a2n-1称为凹数，如果a1＞a2＞…an，且a2n-1＞a2n-2＞…＞an，其中ai（i=1，2，3，…）∈{0，1，2，…，9}，请回答三位凹数a1a2a3（a1≠a3）共有     个（用数字作答）．

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