题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为,且过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与椭圆交于两点(点均在第一象限),与轴,轴分别交于两点,且满足(其中为坐标原点).证明:直线的斜率为定值.
【答案】(1) ;(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)根据椭圆的离心率为,且过点,结合性质 ,列出关于 、 、的方程组,求出 、 、,即可得椭圆的方程;(2)设直线的方程为,点的坐标分别为,由可得,由,消去,根据韦达定理可得,进而可得结果.
试题解析:(1)由题意可得,解得,故椭圆的方程为;
(2)由题意可知直线的斜率存在且不为0,
故可设直线的方程为,点的坐标分别为,
由,
化简得,,即,
由,消去得,
则,且,
故,
因此,即,
又,所以,又结合图象可知,,所以直线的斜率为定值.
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