题目内容

已知函数f（x）=
x2
1+x2
（x≠0）
（1）求f（2），f(
1
2
)，f(
1
x
)
（2）由（1）中求得的结果，你能发现f（x）与f(
1
x
)有什么关系吗？如果能，请求出f（1）+f（2）+f（3）+…+f（10）+f(
1
2
)+f(
1
3
)+…+f(
1
10
)的值．
分析：（1）利用f(x)=
x2
1+x2
（x≠0），能够求出f（2），f(
1
2
)，f(
1
x
)．
（2）f(x)+f(
1
x
)=
x2
1+x2
+
1
1+x2
=1，由此能求出f(1)+f(2)+f(3)+…+f(10)+f(
1
2
)+f(
1
3
)+…+f(
1
10
)的值．
解答：解：（1）∵f(x)=
x2
1+x2
（x≠0），
∴f(2)=
22
1+22
=
4
5
，
f(
1
2
)=
(
1
2
)2
1+(
1
2
)2
=
1
5
，
f(
1
x
)=
(
1
x
)2
1+(
1
x
)2
=
1
1+x2
．…（4分）
（2）∵f(x)+f(
1
x
)=
x2
1+x2
+
1
1+x2
=1，
∴f(2)+f(
1
2
)=1，f(3)+f(
1
3
)=1，…，f(10)+f(
1
10
)=1，
∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(10)+f(
1
2
)+f(
1
3
)+…+f(
1
10
)
=f(1)+[f(2)+f(
1
2
)]+[f(3)+f(
1
3
)]+…+[f(10)+f(
1
10
)]
=
1
2
+1×9=
19
2
．…（10分）
点评：本题考查函数值的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
练习册系列答案
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精英家教网已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)
（2012•深圳一模）已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

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