Question

在平面直角坐标系中，已知三个点列{A_n}，{B_n}，{C_n}，其中A_n（n，a_n），B_n（n，b_n），C_n（n-1，0），满足向量

AnAn+1

与向量

BnCn

平行，并且点列{B_n}在斜率为6的同一直线上，n=1，2，3，…．
（1）证明：数列{b_n}是等差数列；
（2）试用a₁，b₁与n表示a_n（n≥2）；
（3）设a₁=a，b₁=-a，是否存在这样的实数a，使得在a₆与a₇两项中至少有一项是数列{a_n}的最小项？若存在，请求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由；
（4）若a₁=b₁=3，对于区间[0，1]上的任意λ，总存在不小于2的自然数k，当n≥k时，a_n≥（1-λ）（9n-6）恒成立，求k的最小值．

Answer 1

分析：（1）由经过两点直线的斜率公式列式，结合题意列式：

bn+1-bn

(n+1)-n

=6，化简得{b_n}是公差为6的等差数列；
（2）求出

AnAn+1

、

BnCn

的坐标，平根据向量平行的条件列式，化简得b_n=a_n+1-a_n，再根据b_n=b₁+6（n-1）采用累加法，结合等差数列求和公式即可算出a_n的表达式；
（3）由（2）的结论，得a_n=3n²-（a+9）n+2a+6，利用二次函数的图象可得若a₆与a₇两项中至少有一项是数列{a_n}的最小项，则对称轴必位于[5.5，7.5]内，由此解关于a的不等式即可得到实数a的取值范围；
（4）由（2）的结论，得a_n=3（n²-2n+2），原不等式化简为（3n-2）λ+n²-5n+4≥0．记f（λ）=（3n-2）λ+n²-5n+4，结合一次函数的图象与性质建立关于n的不等式组，解出n≥4或n≤1，结合n≥2可得k的最小值为4．

解答：解：（1）∵点列{B_n}所在直线的斜率为6，
∴根据直线斜率的公式，得

bn+1-bn

(n+1)-n

=6，
即b_n+1-b_n=6，因此数列{b_n}是公差为6的等差数列．…3分
（2）∵

AnAn+1

=(1，an+1-an)，

BnCn

=(-1，-bn)，
且

AnAn+1

∥

BnCn

∴b_n=a_n+1-a_n…5分
又∵b_n=b₁+6（n-1），
可得a_n+1-a_n=b₁+6（n-1），分别取n=1，2，3，…，n-1，得
a₂-a₁=b₁，a₃-a₂=b₁+6×1，a₄-a₃=b₁+6×2，…a_n-a_n-1=b₁+6（n-2），
∴以上等式相加得a_n-a₁=(n-1)b1+6×

(n-2)(n-1)

2

，
化简，得a_n=a1+(n-1)b1+3(n2-3n+2)．…8分
（3）由（2）的结论，得a₁=a且b₁=-a时，
a_n=a-（n-1）a+3（n²-3n+2）=3n²-（a+9）n+2a+6…10分
若存在这样的实数a，使得在a₆与a₇两项中至少有一项是数列{a_n}的最小项，
则有5.5≤

a+9

6

≤7.5，解之得24≤a≤36．…13分
（4）由（2）的结论，得a₁=b₁=3时
a_n=3+3（n-1）+3（n²-3n+2）=3（n²-2n+2）
由a_n≥（1-λ）（9n-6），得3（n²-2n+2）≥（1-λ）（9n-6），
即（3n-2）λ+n²-5n+4≥0，…15分
记f（λ）=（3n-2）λ+n²-5n+4，
则有

f(0)≥0 f(1)≥0

，即

n2-5n+4≥0 n2-2n+2≥0

，
解得n≥4或n≤1，结合n≥2，可得n≥4，因此k的最小值为4．…18分．

点评：本题给出以数列的项作为向量的坐标，在向量平行的情况下求数列的通项，并研究不等式恒成立的问题．着重考查了等差数列的通项公式、求和公式，考查了向量的坐标运算、二次函数的图象与性质和不等式恒成立的讨论等知识点，属于中档题．