题目内容

已知圆C:(x-1)2+y2=r2(r>1),设M为圆C与x轴负半轴的交点,过点M作圆C的弦MN,并使它的中点P恰好落在y轴上.

(1)当r=2时,求满足条件的P点的坐标;

(2)当r∈(1,+∞)时,求点N的轨迹E的方程;

(3)若A(x1,2)、B(x2,y2)、C(x0,y0)是E上不同的点,且AB⊥BC,求y0的取值范围.

解:(1)当r=2时,M(-1,0),设P(0,b),由题意得N(1,2b),所以(1-1)2+(2b)2=22.解得b=±1,

故所求点P的坐标为(0,-1)或(0,1).

(2)由条件知M(-r+1,0),设P(0,b),N(x,y),则x=r-1,

所以(r-1-1)2+y2=r2,即y2=4r-4=4x.

所以点N的轨迹方程为y2=4x.

(3)由(2)知A(1,2),B(,y2),C(,y0),y0≠2,y0≠y2,则AB=(,y2-2),=(,y0-y2),

又因为AB⊥BC,所以AB·BC=0,

×+(y2-2)(y0-y2)=0.

整理得y22+(y0+2)y2+16+2y0=0,则此方程有解,

所以Δ=(y0+2)2-4×(16+2y0)≥0,

解得y0≤-16或y0≥10.10分

当y0=-6时,B(4,2),C(9,-6),故符合条件.

当y0=10时,B(9,-6),C(25,10),故符合条件.

所以点C的纵坐标y0的取值范围是(-∞,-6]∪[10,+∞).

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