Question

已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别a、b、c，若cosBcosC=sinBsinC+

1

2

．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若c＜b，a=

21

，S△ABC=

3

，求b，c．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由 cosBcosC=sinBsinC+

1

2

，可得cos（B+C）=

1

2

，求得B+C=

π

3

，可得A的值．
（Ⅱ）三角形的面积为

1

2

bc•sinA=

3

，可得bc=4．再由余弦定理可得可得 b²+c²+bc=21，由此解得 b和c的值．

解答：解：（Ⅰ）已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别a、b、c，由 cosBcosC=sinBsinC+

1

2

，
可得cos（B+C）=

1

2

，∴B+C=

π

3

，A=

2π

3

．
（Ⅱ）若c＜b，a=

21

，S△ABC=

3

=

1

2

bc•sinA，可得bc=4．再由a²=21=b²+c²-2bc•cosA，
可得 b²+c²+bc=21，解得 b=4，c=1．

点评：本题主要考查两角和的余弦公式、余弦定理的应用，属于中档题．