Question

如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．
（1）求证：DC⊥平面ABC；
（2）求二面角A-EF-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）在图甲中，由AB=BD，且∠A=45°，能推导出AB⊥BD；在图乙中，由平面ABD⊥平面BDC，且平面ABD∩平面BDC=BD，能推导出AB⊥CD．由此能够证明DC⊥平面ABC．
（2）法一：以B为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-EF-B的余弦值．
法二：由题知，EF∥DC，故EF⊥平面ABC．由BE在平面ABC内，AE在平面ABC内，知∠AEB为二面角B-EF-A的平面角利用余弦定理能求出二面角A-EF-B的余弦值．

解答：（1）证明：在图甲中，
∵AB=BD，且∠A=45°，
∴∠ADB=45°，∠ABD=90°，AB⊥BD，（2分）
在图乙中，∵平面ABD⊥平面BDC，且平面ABD∩平面BDC=BD，
∴AB⊥底面BDC，
∴AB⊥CD． （4分）
又∠DCB=90°，∴DC⊥BC，且AB∩BC=B，
∴DC⊥平面ABC．    （6分）
（2）解法一：如图，以B为坐标原点，建立空间直角坐标系如下图示，
设CD=a，则BD=AB=2a，BC=

3

a，AD=2

2

a，
∴A（0，0，2a），B（0，0，0），D（2a，0，0），C（

3

2

a，

3

2

a，0），
则E（

3

4

a，

3

4

a，a），F（a，0，a），
∴

AC

=(

3

2

a，

3

2

a，-2a)，

CD

=(

1

2

a，-

3

2

a，0)，

BE

=(

3

4

a，

3

4

a，a)，

BF

=(a，0，a)，
设平面ACD的法向量为

m

=（x₁，y₁，1），平面BEF的法向量

n

=(x2，y2，1)，（8分）
则

m • CD = 1 2 ax1- 3 2 y1=0 m • AC = 3 2 ax1+ 3 2 ay1-2a=0

；

n • BE = 3 4 ax2+ 3 4 ay2+a=0 n • BF =ax2+a=0

．
解得

m

=（1，

3

3

，1），

n

=（-1，-

3

3

，1），（10分）
∴cos＜

m

，

n

＞=

-1- 1 3 +1

21 3 • 21 3

=-

1

7

．
即所求二面角A-EF-B的余弦值为-

1

7

．（12分）
解法二：由题知，EF∥DC，
∴EF⊥平面ABC．
又∵BE在平面ABC内，AE在平面ABC内，
∴FE⊥BE，FE⊥AE，
∴∠AEB为二面角B-EF-A的平面角，（9分）
设CD=a，则BD=AB=2a，BC=

3

a，
在△AEB中，AE=BE=

1

2

AC=

1

2

AB2+BC2

=

7

2

a，
∴cos∠AEB=

AE2+BE2-AB2

2AE•BE

=-

1

7

，
即所求二面角B-EF-A的余弦为-

1

7

．（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法和余弦定理的合理运用．