题目内容
已知函数是定义在上的奇函数,当时, (其中e是自然界对数的底,)
(Ⅰ)设,求证:当时,;
(Ⅱ)是否存在实数a,使得当时,的最小值是3 ?如果存在,求出实数a的值;如果不存在,请说明理由。
(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)存在,
解析试题分析:(Ⅰ)根据已知条件和奇函数的定义与性质,先求出函数在整个定义域的解析式,再由和的关系列不等式,由函数的单调性和导数的关系解不等式即可;(Ⅱ)首先假设这样的存在,然后根据函数的单调性和导数的关系判断函数的单调性找到最小值,注意解题过程中要对参数进行讨论,不能漏解.
试题解析:(Ⅰ)设,则,所以,
又因为是定义在上的奇函数,所以,
故函数的解析式为 , 2分
证明:当且时,,设,
因为,所以当时,,此时单调递减;当时,,此时单调递增,所以,
又因为,所以当时,,此时单调递减,所以,
所以当时,即 ; 4分
(Ⅱ)解:假设存在实数,使得当时,有最小值是3,则 ..5分
(ⅰ)当,时,.在区间上单调递增,,不满足最小值是3, 6分
(ⅱ)当,时,,在区间上单调递增,,也不满足最小值是3, 7分
(ⅲ)当,由于,则,故函数 是上的增函数.
所以,解得(舍去). 8分
(ⅳ)当时,则
当时,,此时函数是减函数;
当时,,此时函数是增函数.
所以,解得.
综上可知,存在实数,使得当时,有最小值3. 10分
考点:函数的单调性与导数的关系,利用导数求函数的极值.
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