Question

【题目】已知直线与抛物线交于，两点，点为抛物线的焦点且.

（1）求的值；

（2）过点作不垂直于轴的直线与抛物线交于，两点，问：在轴上是否存在一点，使得轴总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在；点.

【解析】

（1）联立和，设，，根据韦达定理得到两根之和与两根之积，表示出，代入可解.

（2）先讨论直线斜率不存在的情况，此时显然存在这样的点；直线斜率存在时，设出直线方程，联立抛物线方程，由韦达定理表示，两点的坐标，再由轴总是平分，得到，表示出代入上式即可求解.

解：（1）根据条件可得点的坐标为.

由可得.

设，，则，.

根据点，在抛物线上可得.

则，

∴.

（2）由（1）可知抛物线的方程为.

当直线的斜率不存在时，轴上的除外的任一点均满足使轴平分.

当斜率存在时，由题可设直线的方程为，，.

联立消去得，

∴，.

假设在轴上存在一点，使得轴平分，则，

∴，∴.

又，，∴.

把（*）式代入上式化简得，∴，

∴点.

综上可知，在轴上存在一点，使得轴总是平分.