Question

若一元二次不等式ax²+bx+c＞0（ac＜0）的解集为{x|m＜x＜n}，则一元二次不等式cx²+bx+a＞0的解为

(-∞，

1

m

)∪(

1

n

，+∞)．

．

Answer 1

分析：根据一元二次不等式的解集，得到对应方程根与系数之间的关系，然后解不等式即可．

解答：解：∵一元二次不等式ax²+bx+c＞0（ac＜0）的解集为{x|m＜x＜n}，
∴m，n是对应方程ax²+bx+c=0的两个根，且a＜0，
∵ac＜0，∴c＞0，
则m+n=-

b

a

，mn=

c

a

＜0，
∴n＞0，m＜0，
即c=mna，b=-a（m+n），
代入不等式cx²+bx+a＞0得mnax²-a（m+n）x+a＞0，
即mnx²-（m+n）x+1＜0，
x²-（

1

m

+

1

n

）x+

1

mn

＞0，
∵n＞0，m＜0，
∴

1

m

＜0，

1

n

＞0，
∴不等式的解集为：(-∞，

1

m

)∪(

1

n

，+∞)．
故答案为：(-∞，

1

m

)∪(

1

n

，+∞)．

点评：本题主要考查一元二次不等式的解法，利用一元二次方程和一元二次不等式之间的关系进行转化是解决本题的关键．