题目内容

下列几个命题：
①函数y=
x2-1
+
1-x2
是偶函数，但不是奇函数；
②“
a＞0
△=b2-4ax≤0
”是“一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为R”的充要条件；
③设函数y=f（x）定义域为R，则函数y=f（1-x）与y=f（x-1）的图象关于y轴对称；
④若函数y=Acos（ωx+φ）（A≠0）为奇函数，则φ=
π
2
+kπ（k∈Z）；⑤已知x∈（0，π），则y=sinx+
2
sinx
的最小值为2
2
．
其中正确的有
②④
②④
．
分析：根据函数奇偶性的定义，判断出函数y=
x2-1
+
1-x2
的奇偶性，可判断①；根据二次函数的图象和性质，分析二次不等式恒成立的充要条件，可判断②；根据函数对称变换法则，求出函数y=f（1-x）的图象关于y轴对称图象对应的解析式，可判断③；根据余弦函数的奇偶性，求出φ值，可判断④；根据正弦函数的图象和性质，结合对勾函数的图象和性质，可判断⑤
解答：解：函数y=
x2-1
+
1-x2
的定义域A={-1，1}，当x∈A时，函数f（x）=0恒成立，故f（-x）=f（x），f（-x）=-f（x）均成立，则函数即是奇函数，又是偶函数，故①错误；
“一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为R”的充要条件是“
a＞0
△=b2-4ax≤0
”，故②正确；
函数y=f（1-x）的图象关于y轴对称图象对应的解析式为y=f（1+x），故③错误；
若函数y=Acos（ωx+φ）（A≠0）为奇函数，则cosφ=0，故φ=
π
2
+kπ（k∈Z），故④正确；
令t=sinx，则x∈（0，π）时，t∈（0，1]，则y=t+
2
t
，由y=t+
2
t
，在区间（0，1]为减函数，故当t=1时，函数取最小值3，故⑤错误
故答案为：②④
点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了函数的奇偶性，对称变换，单调性等知识点，是函数图象和性质的综合应用，难度较大．
练习册系列答案
相关题目
有下列几个命题：
①函数y=2x2+x+1在（0，+∞）上不是增函数；②函数y=
1
x+1
在（-∞，-1）∪（-1，+∞）上是减函数；③函数y=
5+4x-x2
的单调区间是[-2，+∞）；④已知f（x）在R上是增函数，若a+b＞0，则有f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b）．其中正确命题的序号是
 
．
下列几个命题：
①函数y=
x2-1
+
1-x2
是偶函数，但不是奇函数．
②函数f（x）的定义域为[-2，4]，则函数f（3x-4）的定义域是[-10，8]．
③函数f（x）的值域是[-2，2]，则函数f（x+1）的值域为[-3，1]．
④设函数y=f（x）定义域为R且满足f（1-x）=f（x+1）则它的图象关于y轴对称．
⑤一条曲线y=|3-x2|和直线y=a（a∈R）的公共点个数是m，则m的值不可能是1．
其中正确的有
 
．
有下列几个命题：
①函数y=
1
x+1
在（-∞，-1）∪（-1，+∞）上是减函数；
②已知f（x）在R上是增函数，若a+b＞0，则有f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b）；
③已知函数y=f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x(1+
3x
)，则当x＜0时，f(x)=-x(1-
3x
)；
④已知定义在R上函数f（x）满足对?x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，则f（x）是R上的增函数；⑤如果a＞1，则函数f（x）=ax-x-a（a＞0且a≠1）有两个零点．
其中正确命题的序号是
 
．（写出全部正确结论的序号）
下列几个命题：
①函数f（x）=x2+（a-3）x+a有两个零点，一个比0大，一个比0小，则a＜0；
②函数y=
x2-1
+
1-x2
是偶函数，但不是奇函数；
③函数f（x）的值域是[-2，2]，则函数f（x+1）的值域为[-3，1]；
④函数f（x）的定义域为[-2，4]，则函数f（3x-4）的定义域是[-10，8]，
⑤函数y=ax（a＞0且a≠1）与函数y=logaax（a＞0且a≠1）的定义域相同；
⑥函数y=（x-1）2与y=2x-1在区间[0，+∞）上都是增函数，
其中正确的有
①⑤
①⑤
．

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